ТЕОРЕМА  ПИФАГОРА

Имя Пифагора известно не из исторических книг, а из учебников математики, благодаря его знаменитой теореме. Своего беспримерного уровня знаний Пифагор достиг, обучаясь в самых развитых в научном отношении странах того времени — Египте и Вавилоне. Теорема описывает свойства сторон прямоугольного треугольника. Квадрат стороны, противолежащей прямому углу, — гипотенузы — равен сумме квадратов двух других его сторон (катетов): а2 + Ь2 = с2. Согласно легенде, доказав эту теорему, Пифагор принес в жертву богу быка, испеченного из пшеничной муки. Правда, остается неясным, открывал ли вообще Пифагор эту теорему. На одной из клинописных табличек, найденных в Вавилоне и датированных приблизительно 1800 годом до н. э., имеется надпись: «Квадрат одного числа равен сумме квадратов двух чисел». Кроме того, известно, что это свойство сторон прямоугольного треугольника использовалась египтянами еще при строительстве пирамид. Так что Пифагор, скорее всего, заимствовал эту идею у египетских жрецов.

Ныне найдено более трехсот способов доказательства его теоремы. Формуле а2 + Ь2 = с2 удовлетворяют натуральные ряды, названные «пифагорейскими числами»: 3,4, 5 (З2 + 42 = 52); 5,12,13; 8,15,17 и так далее. Число таких сочетаний бесконечно. 

Но достижения Пифагора не сводились к теореме, названной его именем. Еще Аристотель признавал, что Пифагор и его ученики первыми начали изучать математику, что именно благодаря пифагорейцам произошло становление ее как науки. В ту эпоху философов прежде всего интересовал вопрос: «Что является источником всего сущего?» Фалес Милетский считал таковым воду, другие представители созданной им школы под основой мира понимали «воздух» (Анаксимен), «неопределенность», или «апейрон» (Анаксимандр). Пифагор и его ученики
важнейшую роль придавали числам. В каждой реальной вещи они видели количественную, математическую, форму. При этом, по словам его жены Феано, Пифагор утверждал, что всё рождается не из числа, а согласно числу, то есть оно не являлось источником сущего, но выражало связь его с вторичными, третичными и так далее явлениями мира. Исследования в братстве проводились коллективно и все приписывались Пифагору, и потому мы не можем сказать, кто именно сделал то или иное открытие. Но идея о роли чисел, будучи исходной, методологической, наверняка принадлежала ему самому. Позже идеи Пифагора весьма повлияли на формирование философии Платона.

Пифагор видел числа везде и во всем и связывал с ними все вещи и явления внешнего мира. Так, например, нечетные числа, не делящиеся пополам без остатка, он считал «совершенными», ибо они «конечны», «правильны» и «неделимы». Вещи, которые можно без остатка разделить пополам, и, следовательно, обладавшие противоположными качествами, он связывал с четными числами. Число «1» традиционно считалось первоисточником всех чисел, или «монадой». Двоичную основу четных чисел назвали «диадой». Пифагор пришел к выводу, что первое нечетное число, «3», связано с мужским началом. Женское начало, менее ценное с точки зрения Пифагора, получило число «2». Число «5» символизировало брак, «4» — правосудие, «7» — счастье, «8» — покой, «9» — равенство, а «10» — полноту или завершенность. Правда, были и иные теории относительно символики чисел, например, «4 — честность, 5 — цвет, 6 — жизнь, 7 — здоровье, 8 — благоразумие, 9 — добро, 10 — завершение». Пифагор устанавливал связи между числами и использовал их для решения задач. Например, на нижнем рисунке точка представляет «1», «2» представлено двумя соединенными линией точками, «3» показано в виде треугольника, а «4» — в виде тетраэдра. Если сложить все числа от «1» до «4», в сумме получится «10» — число «священное» и «совершенное» (1+2+3+4=10).

Геометрические фигуры можно выстраивать из точек и создавать из них интересные числовые ряды. На следующей странице на верхнем рисунке справа это показано наглядно на примере треугольников и квадратов: увеличение числа точек на их сторонах увеличивает и общее количество точек в фигурах — при образовании квадратов возникает числовой ряд 1,4, 9, 16, ... Тот же принцип можно использовать для создания пятиугольников и шестиугольников. Пифагорейцы обнаружили, что множители чисел 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) и 284(1,2,4, 71,142) дают в сумме соответственно 284 и 220, и назвали эти числа «дружественными». Пифагор вычислил также, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, а также первым открыл существование иррациональных чисел. Таким образом, вклад Пифагора в геометрию далеко не ограничивается его знаменитой теоремой. Иррациональными называются числа, которые невозможно выразить в виде дроби. Пифагорейцы обнаружили их, попытавшись вычислить диаметр квадрата. Получить его с помощью рациональных чисел оказалось невозможно. Это открытие поразило пифагорейцев, считавших числа выражением гармонии мира. Найденная истина в корне противоречила их представлениям о Вселенной, и потому пифагорейцы хранили ее в строжайшей тайне. Совсем не случайно, что Гиппаса, обнародовавшего информацию об иррациональных числах, пифагорейцы сочли предателем, изгнали из своего братства и, возможно, приложили руку к его преждевременной гибели.

Существование иррациональных чисел было подтверждено при изучении пентаграмм. Пифагорейцы любили эту фигуру и даже сделали ее символом своей школы. Пентаграмма состоит из линий, последовательно соединяющих пять равноудаленных друг от друга точек. Диагонали этой фигуры образуют пятиконечную звезду, причем при пересечении диагоналей соразмерность длинного и короткого отрезков выражается как 0,618.../0,382... Это соотношение нельзя выразить целым числом. Леонардо да Винчи назвал его «золотым сечением». Оно традиционно считалось символом гармонии и широко использовалось и используется поныне в архитектуре и изобразительном искусстве. Такого рода открытия были важным вкладом пифагорейцев в математику, создавшим основу для будущих открытий.