Продолжая свои исследования, посвященные
квадратуре круга, Архимед решил найти метод расчета площади поверхности и
объема сфер. И однажды ему пришла в голову идея: для определения площади и
объема сферы следует использовать конусы и цилиндры — относительно похожие
формы -и попытаться найти связь между ними и сферами. Архимед начал с
вписанной в цилиндр, касающейся его оснований, а также с двух конусов,
имеющих общую вершину в центре цилиндра и основания, равные основаниям
цилиндра. Ученый попробовал найти решение, исходя из объемов конусов и
цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на его высоту.
Площадь основания рассчитывается при помощи уже найденного им числа л,
умноженного на квадрат радиуса основания. Сделав эти расчеты, Архимед
обнаружил, что объем конусов равен одной трети объема цилиндра.
После этого ученый сделал очень важное открытие: если поставить в ряд сферу,
конус и цилиндр и сделать горизонтальный срез на одинаковой высоте, то сумма
площадей сечения конуса и сферы будут равняться площади
сечения цилиндра, независимо от высоты горизонтального среза. Обнаружив это,
Архимед понял, что, добавляя объем сферы к объему конусов, мы получим объем
цилиндра. Так как он знал, как рассчитывать объем цилиндров и конусов, он
смог обратиться к определению объема сферы. На основе этих результатов
Архимеду удалось найти формулу площади поверхности сферы.
Затем Архимед переписал все три уравнения для объемов и сравнил их. Он
констатировал, что объемы конусов, сферы и цилиндра находились в соотношении
1:2:3. «Какая красивая истина!» — воскликнул он, начертив вписанную в
цилиндр сферу. Затем он сказал своим ученикам: «Когда я умру, пусть этот
рисунок украсит мою могилу». Это его пожелание было осуществлено.
Продолжая свои исследования, посвященные
квадратуре круга, Архимед решил найти метод расчета площади поверхности и
объема сфер. И однажды ему пришла в голову идея: для определения площади и
объема сферы следует использовать конусы и цилиндры — относительно похожие
формы -и попытаться найти связь между ними и сферами. Архимед начал с
вписанной в цилиндр, касающейся его оснований, а также с двух конусов,
имеющих общую вершину в центре цилиндра и основания, равные основаниям
цилиндра. Ученый попробовал найти решение, исходя из объемов конусов и
цилиндра. Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на его высоту.
Площадь основания рассчитывается при помощи уже найденного им числа л,
умноженного на квадрат радиуса основания. Сделав эти расчеты, Архимед
обнаружил, что объем конусов равен одной трети объема цилиндра.